數學學霸做題時是怎樣思考的?

2019-03-08 14:11:01

其實最先想到的是:這道題我有沒有見過。

然後是有沒有見過類似的題目。然後將考題和見過的那道題目關聯一下。

如果都是否定的,那么才會轉到波利亞或者其他人所說的流程中的,什麼轉化條件啊之類的。

我原來也一直以為“數學思維”啊什麼的,當然這個東西確實很有用,但後來才發現,做得快、用來解決80%的考試題目的,說到底就是因為見過。

數學不好的人,一個是見過,但沒有記住,太多人都是這樣的。

另一個,是沒有“抽離出模型”。

所以,“穿著黑色西服的張三”和“穿著黃色馬甲的張三”,在他們看來是兩個人,但在數學好的人看來是一個人。

以上說的是高考之前的數學。

大學以後,尤其是讀數學系的人,不清楚。

我又心血來潮了。

這個“見過”是瞬間完成的,對於絕大部分題目都可以一瞬間完成,所以一般不察覺,我原來也不察覺,直到後來有人問我:“我也按照你所說的,什麼條件轉化之類的,為啥我做不出來呢?(或者為啥我還是想不出來咋做呢?)”

然後我就分析思路的過程,發現:

(1)對於大部分題目,可能有個4、50%吧,比例是我大概估計一下的,其實因為做過太多類似的題目,所以直接就瞬間解掉了。

比如高考的第一道選擇題,集合題,你要談什麼“數學思維”嗎?

所以,做過、見過類似的題目,這個是根基。

解題不可能是“無源之水無本之木”的。

所以,看到題目的第一瞬間,一定是“是否見過這道題”或“是否見過類似的題目”,只不過這個思路太快,所以被忽略了。

(2)有30%的題目,大概是“可以通過轉化,很快歸到已經做過的類似題目”上。

我想起一個笑話,說有個數學家失業了,去當消防員。經過一段時間的培訓,然後總管考他:“如果有個房子著火了,按照什麼步驟去滅火?”這個數學家很流利的回答出來了。

總管很滿意,就開了個玩笑,問數學家:“那么如果你看到一個沒有著火的房子呢?”

數學家說:“那我就把它點著了,這樣就轉化成一個已知的問題了。”

雖然是笑話,但我覺得,其實解題的時候的思維方式,其實就是這樣。

這些題目,雖然表面有一些不同,但很容易用“模型”進行控制。

不過是繞了個彎而已。

而學得好的人,是這樣的思維的:轉化一步,“啪”就到了自己熟悉的題目上了。

學得差的人,是這樣的:轉化一步,不認識;再轉化一步,還是不認識;再轉化一步……

在實戰中,如果是這樣,那么這往往已經開始走錯方向了,甚至開始往回走了。

(3)最後大概有20%的比例的題目,可能是真考察數學思維的。

但我覺得高考試卷中,真正的比例要比20%小。

比如解析幾何的題目,只要不出在壓軸題,我覺得是考計算能力和熟練度的,和數學思維也沒啥關係。

選擇題和填空題的最後一題,以及最後的壓軸題,也只是有一定的機率會出到所謂的考察“數學思維”而已,50%?比例說不準。

比如2015年高考新課標2的16題,簡單到1、2分鐘就可以做出來了,毛數學思維,直接用最簡單粗暴的方法把答案寫對了就可以了。

那么,最後算下來,我估計,大概有10%的題目是真需要動腦子去想的,這個時候各種思維都有可能用上,什麼轉化、圖形結合亂碼七糟的。

最後就是這個問題了:如何定義數學學得好的人?

數學家?高考狀元?數學滿分者?數學天才(高斯)?

放在情境中,我認為自己還是有資格回答這個問題的。當然,你要限定上面這幾類人,我就不吭聲了。

然後就是我本科學的不是數學專業,所以雖然我感覺應該差不多,但我不敢亂說,所以只能說至少高考前是這樣的。

最後,我再看了一下波利亞的那個思維流程,其實他和我說的是一回事啊。

他把“審題”放在了前面,然後就是“看有沒有見過(類似題目)”。

如果說到“數學好的人和數學一般的人在思維上的差異”,我覺得是“抽離模型”的差異。

數學好的人,直接進行抽象思維的能力應該是比較強的。

附一個常規性的解題思路(只針對高考前)

註:

(1)“三方面湊”,指的是“條件”、“結論”、“知識點”(該考點的公式等)

(2)到了最後一步,我這種水平的人就只能是看運氣能不能解出來了。有時候靈光一閃就想到了,有時候想上幾個小時也想不出來。

雖然會使用一些技巧,但也基本上是看天的了。

PS:到達這一步的時候,很容易進入“忘掉時間”的狀態,不知不覺之間,很可能就幾個小時過去了。所以我很少做這種事情。(生而有涯,學而無涯,以有涯追無涯,狗帶)

(3)絕大部分題目,其實根本到不了最後這一個階段。

包括有些所謂的“壓軸題”,用一些常規的轉化和技巧就解出來了。

而這些,都是平時的時候訓練、歸納總結出來的。

高考是要拿分的,不能指望到時候的“靈光一閃”。

(4)我的意思就是說:學得好的人,在解題的時候,最先出現在腦海中的,仍然是“見過沒有”,只不過太快了,平時意識不到。

(5)好吧好吧,一家之言,覺得不對你就忽略過去好了

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