立體幾何題型與方法

2019-02-12 17:36:51

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1.平面
平面的基本性質:掌握三個公理及推論,會說明共點、共線、共面問題。
(1)證明點共線的問題,一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點(依據:由點線上上,線在面內 ,推出點在面內), 這樣可根據公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。
(2)證明共點問題,一般是先證明兩條直線交於一點,再證明這點在第三條直線上,而這一點是兩個平面的公共點,這第三條直線是這兩個平面的交線。
(3)證共面問題一般先根據一部分條件確定一個平面,然後再證明其餘的也在這個平面內,或者用同一法證明兩平面重合
2. 空間直線
(1)空間直線位置關係三種:相交、平行、異面. 相交直線:共面有且僅有一個公共點;平行直線:共面沒有公共點;異面直線:不同在任一平面內,無公共點
註:①兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.(×)(也可能兩條直線平行,也可能是點和直線等)
②直線在平面外,指的位置關係是平行或相交
③若直線a、b異面,a平行於平面α,b與α 的關係是相交、平行、在平面α內.
④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.
⑤在平面內射影是直線的圖形一定是直線.(×)(射影不一定只有直線,也可以是其他圖形)
⑥在同一平面內的射影長相等,則斜線長相等.(×)(並非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段)
⑦a、b是夾在兩平行平面間的線段,若a=b,則a、b的位置關係為相交或平行或異面.
⑧異面直線判定定理:過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.(不在任何一個平面內的兩條直線)
(2)平行公理:平行於同一條直線的兩條直線互相平行.
等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行並且方向相同,那么這兩個角相等(如下圖).
(直線與直線所成角)(向量與向量所成角)
推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等.
(3)兩異面直線的距離:公垂線段的長度.
空間兩條直線垂直的情況:相交(共面)垂直和異面垂直.
註:是異面直線,則過外一點P,過點P且與都平行平面有一個或沒有,但與距離相等的點在同一平面內. (或在這個做出的平面內不能叫與平行的平面)
3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.
(1)空間直線與平面位置分三種:相交、平行、在平面內.
(2)直線與平面平行判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.(“線線平行線面平行”)
註:①直線a與平面α內一條直線平行,則a∥α. (×)(平面外一條直線)
②直線a與平面α內一條直線相交,則a與平面α相交. (×)(平面外一條直線)
③若直線a與平面α平行,則α內必存在無數條直線與平行. (√)(不是任意一條直線,可利用平行的傳遞性證之)
④兩條平行線中一條平行於一個平面,那么另一條也平行於這個平面. (×)(可能在此平面內)
⑤平行於同一個平面的兩直線平行.(×)(兩直線可能相交或者異面)
⑥直線l與平面α、β所成角相等,則α∥β.(×)(α、β可能相交)
直線和平面平行性質定理:如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.(“線面平行線線平行”)
(4)直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直,過一點有且只有一條直線和一個平面垂直,過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
若PA⊥a,a⊥AO,得a⊥PO(三垂線定理),三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一:如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這兩條直線垂直於這個平面.(“線線垂直線面垂直”)
直線與平面垂直的判定定理二:如果平行線中一條直線垂直於一個平面,那么另一條也垂直於這個平面.
性質:如果兩條直線同垂直於一個平面,那么這兩條直線平行.
(5)a.垂線段和斜線段長定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中,①射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段較長;②相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段射影較長;③垂線段比任何一條斜線段短.
註:垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內的射影是一條直線.(×)]
b.射影定理推論:如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等,那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上。
4. 平面平行與平面垂直.
(1)空間兩個平面的位置關係:相交、平行.
(2)平面平行判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面,那么這兩個平面平行.(“線面平行面面平行”)
推論:垂直於同一條直線的兩個平面互相平行;平行於同一平面的兩個平面平行.
註:一平面內的任一直線平行於另一平面.
(3)兩個平面平行的性質定理:如果兩個平面平行同時和第三個平面相交,那么它們交線平行.(“面面平行線線平行”)
(4)兩個平面垂直判定一:兩個平面所成的二面角是直二面角,則兩個平面垂直.
兩個平面垂直判定二:如果一條直線與一個平面垂直,那么經過這條直線的平面垂直於這個平面.(“線面垂直面面垂直”)
註:如果兩個二面角的平面分別對應互相垂直,則兩個二面角沒有什麼關係.
(5)兩個平面垂直性質定理:如果兩個平面垂直,那么在一個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另一個平面.
推論:如果兩個相交平面都垂直於第三平面,則它們交線垂直於第三平面.
簡證:如圖,在平面內過O作OA、OB分別垂直於,
(6)兩異面直線任意兩點間的距離公式:)
(7)a.最小角定理:
b.最小角定理的套用(∠PBN為最小角)
簡記為:成角比交線夾角一半大,且又比交線夾角補角一半長,一定有4條.
成角比交線夾角一半大,又比交線夾角補角小,一定有2條.
成角比交線夾角一半大,又與交線夾角相等,一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小,又與交線夾角一半小,一定有1條或者沒有.
5. 稜柱. 稜錐
(1)稜柱.
a.①直稜柱側面積:S=Ch(C為底面周長,h是高)該公式是利用直稜柱的側面展開圖為矩形得出的.
②斜棱住側面積:(C1是斜稜柱直截面周長,l是斜稜柱的側棱長)該公式是利用斜稜柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.
c.稜柱具有的性質:
①稜柱的各個側面都是平行四邊形,所有的側棱都相等;直稜柱的各個側面都是矩形;正稜柱的各個側面都是全等的矩形.
②稜柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
③過稜柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形.
註:①稜柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直稜柱. (×)(直稜柱不能保證底面是矩形,可如圖)
②(直稜柱定義)稜柱有一條側棱和底面垂直.
d.平行六面體:
定理一:平行六面體的對角線交於一點,並且在交點處互相平分.
註:四稜柱的對角線不一定相交於一點.
定理二:長方體的一條對角線長的平方等於一個頂點上三條棱長的平方和.
推論一:長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為α,β, γ,則 .
推論二:長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為α,β, γ,則.
註:①有兩個側面是矩形的稜柱是直稜柱.(×)(斜四稜柱的兩個平行的平面可以為矩形)
②各側面都是正方形的稜柱一定是正稜柱.(×)(應是各側面都是正方形的直稜柱才行)
③對角面都是全等的矩形的直四稜柱一定是長方體.(×)(只能推出對角線相等,推不出底面為矩形)
④稜柱成為直稜柱的一個必要不充分條件是稜柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直. (兩條邊可能相交,可能不相交,若兩條邊相交,則應是充要條件)
(2)稜錐:稜錐是一個面為多邊形,其餘各面是有一個公共頂點的三角形.
註:①一個三稜錐四個面可以都為直角三角形.
②一個稜柱可以分成等體積的三個三稜錐;所以
a.①正稜錐定義:底面是正多邊形;頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.
註:i. 正四稜錐的各個側面都是全等的等腰三角形.(不是等邊三角形)
ii. 正四面體是各棱相等,而正三稜錐是底面為正三角形,側棱與底棱不一定相等
iii. 正稜錐定義的推論:若一個稜錐的各個側面都是全等的等腰三角形(即側棱相等);底面為正多邊形.
②正稜錐的側面積:(底面周長為,斜高為)
③稜錐的側面積與底面積的射影公式:(側面與底面成的二面角為α)
附:
註:S為任意多邊形的面積(可分別求多個三角形面積和的方法).
b.稜錐具有的性質:①正稜錐各側棱相等,各側面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高相等(它叫做正稜錐的斜高).
②正稜錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形,正稜錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形.
c.特殊稜錐的頂點在底面的射影位置:
①稜錐的側棱長均相等,則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②稜錐的側棱與底面所成的角均相等,則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③稜錐的各側面與底面所成角均相等,則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
④稜錐的頂點到底面各邊距離相等,則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
⑤三稜錐有兩組對棱垂直,則頂點在底面的射影為三角形垂心.
⑥三稜錐的三條側棱兩兩垂直,則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.
⑦每個四面體都有外接球,球心0是各條棱的中垂面的交點,此點到各頂點的距離等於球半徑;
⑧每個四面體都有內切球,球心I是四面體各個二面角的平分面的交點,到各面的距離等於半徑.
註:i. 各個側面都是等腰三角形,且底面是正方形的稜錐是正四稜錐.(×)(各個側面的等腰三角形不知是否全等)
ii. 若一個三稜錐,兩條相對棱互相垂直,則第三組相對棱必然垂直.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等,則順次連結各邊的中點的四邊形一定是矩形.
6.球:
a.球的截面是一個圓面.
b.緯度、經度:
①緯度:地球上一點P的緯度是指經過P點的球半徑與赤道面所成的角的度數.
②經度:地球上A,B兩點的經度差,是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數,特別地,當經過點的經線是本初子午線時,這個二面角的度數就是B點的經度.
附:
①內切球:當四面體為正四面體時,設邊長為a,,得.
註:球內切於四面體:。
②外接球:球外接於正四面體,可如圖建立關係式.
7. 空間向量.
(1)a.共線向量:共線向量亦稱平行向量,指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
註:
b.共線向量定理:
c.共面向量:
d.
四點共面的充要條件。
註:①②是證明四點共面的常用方法.
(2)
推論:
註:
(3)a.空間向量的坐標:空間直角坐標系的x軸是橫軸(對應為橫坐標),y軸是縱軸(對應為縱坐標),z軸是豎軸(對應為豎坐標).
①令則
②空間兩點的距離公式:.
c.向量的常用方法:
①利用法向量求點到面的距離定理:如圖,設n是平面α的法向量,AB是平面α的一條射線,其中,則點B到平面α的距離為
②異面直線間的距離

④利用法向量求二面角的平面角定理:
的法向量).
d.證直線和平面平行定理:
8.知識網路

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