國中數學解題方法與技巧

2019-02-17 13:02:40

國中數學解題方法與技巧

要學好數學,學會解題是關鍵。在進行解題的過程中,不僅需要加強必要的訓練,其還要掌握一定的解題規律與技巧。

一、數學思想方法在解題中有不可忽視的作用

解題的學習過程通常的程式是:閱讀數學知識,理解概念;在對例題和老師的講解進行反思,思考例題的方法、技巧和解題的規範過程;然後做數學練習題。

基本題要練程式和速度;典型題嘗試一題多解開發數學思維;最後要及時總結反思改錯,交流學習好的解法和技巧。著名的數學教育家波利亞說“如果沒有反思,就錯過了解題的的一次重要而有意義的方面。”

教師在教學設計中要讓解學生好數學問題,就要對數學思想方法有清楚的認識,才能更好的挖掘題目的功能,引導學生髮現總結題目的解法和技巧,提高解題能力。

1. 函式與方程的思想

函式與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函式的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關係,建立函式關係或構造函式,再運用函式的圖像與性質去分析、解決相關的問題。而所謂方程的思想是分析數學中的等量關係,去構建方程或方程組,通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

2. 數形結合的思想

數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景,可以藉助幾何特徵去解決相關的代數三角問題;而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特徵用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

3. 分類討論的思想

分類討論的思想之所以重要,原因一是因為它的邏輯性較強,原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣,原因三是因為它可培養學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。

解決分類討論問題的關鍵是化整為零,在局部討論降低難度。常見的類型:類型 1 :由數學概念引起的的討論,如實數、有理數、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關係等概念的分類討論;類型 2 :由數學運算引起的討論,如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題;類型 3 :由性質、定理、公式的限制條件引起的討論,如一元二次方程求根公式的套用引起的討論;類型 4 :由圖形位置的不確定性引起的討論,如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。類型 5 :由某些字母係數對方程的影響造成的分類討論,如二次函式中字母係數對圖象的影響,二次項係數對圖象開口方向的影響,一次項係數對頂點坐標的影響,常數項對截距的影響等。

分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法,其作用在於克服思維的片面性,全面考慮問題。分類的原則:分類不重不漏。分類的步驟:①確定討論的對象及其範圍;②確定分類討論的分類標準;③按所分類別進行討論;④歸納小結、綜合得出結論。注意動態問題一定要先畫動態圖。

4 .轉化與化歸的思想

轉化與化歸市中學數學最基本的數學思想之一,數形結合的思想體現了數與形的轉化;函式與方程的思想體現了函式、方程、不等式之間的相互轉化;分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化,所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

但是轉化包括等價轉化和非等價轉化,等價轉化要求在轉化的過程中前因和後果是充分的也是必要的;不等價轉化就只有一種情況,因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題,將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題;將複雜的轉為簡單的問題;將一般的轉為特殊的問題;將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易於解決。

但是轉化包括等價轉化和非等價轉化,等價轉化要求在轉化的過程中前因和後果是充分的也是必要的;不等價轉化就只有一種情況,因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題,將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題;將複雜的轉為簡單的問題;將一般的轉為特殊的問題;將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易於解決。

常見的轉化方法有

( 1 )直接轉化法:把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題 .

( 2 )換元法:運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等,把較複雜的函式、方程、不等式問題轉化為易於解決的基本問題 . 

( 3 )數形結合法:研究原問題中數量關係(解析式)與空間形式(圖形)關係,通過互相變換獲得轉化途徑 . 

( 4 )等價轉化法:把原問題轉化為一個易於解決的等價命題,達到化歸的目的 . 

( 5 )特殊化方法:把原問題的形式向特殊化形式轉化,並證明特殊化後的問題,使結論適合原問題 .

( 6 )構造法:“構造”一個合適的數學模型,把問題變為易於解決的問題 .

( 7 )坐標法:以坐標係為工具,用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑

轉化與化歸的指導思想

( 1 )把什麼問題進行轉化,即化歸對象 . 

( 2 )化歸到何處去,即化歸目標 . 

( 3 )如何進行化歸,即化歸方法 . 

化歸與轉化思想是一切數學思想方法的核心 .

二、中學數學解題中的的基本方法

1. 觀察與實驗

( 1 )觀察法:有目的有計畫的通過視覺直觀的發現數學對象的規律、性質和解決問題的途徑。

( 2 )實驗法:實驗法是有目的的、模擬的創設一些有利於觀察的數學對象,通過觀察研究將複雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強,特徵清晰,同時可以試探解法、檢驗結論的重要優勢。

2. 比較與分類

( 1 )比較法

是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數學上兩類數學對象必須有一定的關係才好比較。我們常比較兩類數學對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。

( 2 )分類的方法

分類是在比較的基礎上,依據數學對象的性質的異同,把相同性質的對象歸入一類,不同性質的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函式的 k 在不等於零的情況下的分類是大於零和小於零體現了不重不漏的原則。

3 .特殊與一般

( 1 )特殊化的方法

特殊化的方法是從給定的區域內縮小範圍,甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況,再去考慮問題的解答和合理性。

( 2 )一般化的方法

4. 聯想與猜想

( 1 )類比聯想

類比就是根據兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性,聯想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。

通過類比聯想可以發現新的知識;通過類比聯想可以尋求到數學解題的方法和途徑:

( 2 )歸納猜想

牛頓說過:沒有大膽的猜想就沒有偉大的發明。猜想可以發現真理,發現論斷;猜想可以預見證明的方法和思路。國中數學主要是對命題的條件觀察得出對結論的猜想,或對條件和結論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。

歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的,不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤,因此作為結論是需要證明的。關鍵是猜之有理、猜之有據。

5. 換元與配方

( 1 )換元法

解數學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變數去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化,變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數,可以把分散的條件聯繫起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結論聯繫起來。或者變為熟悉的形式,把複雜的計算和推證簡化。
我們使用換元法時,要遵循有利於運算、有利於標準化的原則,換元後要注重新變數範圍的選取,一定要使新變數範圍對應於原變數的取值範圍,不能縮小也不能擴大。 你可以先觀察算式,你可以發現這種要換元法的算式中總是有相同的式子,然後把他們用一個字母代替,算出答案,然後答案中如果有這個字母,就把式子帶進去,計算就出來啦。

( 2 )配方法

配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯繫,從而化繁為簡。何時配方,需要我們適當預測,並且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恆等變形,使數學式子出現完全平方。它主要適用於:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函式、二次代數式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,將這個公式靈活運用,可得到各種基本配方形式

6. 構造法與待定係數法

( 1 )構造法所謂構造性的方法就是數學中的概念和方法按固定的方式經有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現的方法。常見的有構造函式,構造圖形,構造恆等式。平面幾何裡面的添輔助線法就是常見的構造法。構造法解題有:直接構造、變更條件構造和變更結論構造等途徑。

( 2 )待定係數法:將一個多項式表示成另一種含有待定係數的新的形式,這樣就得到一個恆等式。然後根據恆等式的性質得出係數應滿足的方程或方程組,其後通過解方程或方程組便可求出待定的係數,或找出某些係數所滿足的關係式,這種解決問題的方法叫做待定係數法。

7. 公式法與反證法

( 1 )公式法

利用公式解決問題的方法。國中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的套用:

( 2 )反證法是“間接證明法”一類,即:肯定題設而否定結論,從而得出矛盾,就可以肯定命題的結論的正確性,從而使命題獲得了證明。

三、中學數學新題型解題方法和技巧

1. 數學探索題

所謂探索題就是從問題給定的題設條件中探究其相應的結論並加以證明,或從給定的題目要求中探究相應的必需具備的條件、解決問題的途徑。

條件探索題:解答策略之一是將題設和結論視為已知,同時推理,在演繹的過程中尋找出相應所需的條件。

結論探索題:通常指結論不確定不唯一,或結論需通過類比、引申、推廣,或給出特例需通過歸納得出一般結論。可以先猜測再去證明;也可以尋求具體情況下的結論再證明;或直接演繹推證。

規律探索題:實際就是探索多種解決問題的途徑,制定多種解題的策略。

活動型探索題:讓學生參與一定的社會實踐,在課內和課外的活動中,通過探究完成問題解決。

推廣型探索題:將一個簡單的問題,加以推廣,可產生新的結論,在國中教學中常見。如平行四邊形的判定,就可以產生許多新的推廣,一方面是自身的推廣,一方面可以延伸到菱形和正方形中。

探索是數學的生命線,解探索題是一種富有創造性的思維活動,一種數學形式的探索絕不是單一的思維方式的結果,而是多種思維方式的聯繫和滲透,這樣可使學生在學習數學的過程中敢於質疑、提問、反思、推廣。通過探索去經歷數學發現、數學探究、數學創造的過程,體會創造帶來的快樂。

2. 數學情境題

情境題是以一段生活實際、故事、歷史、遊戲與數學問題、數學思想和方法於情境中。這類問題往往生動有趣,激發學生強烈的研究動機,但同時數學情景題又有信息量大,開放性強的特點,因此需要學生能從場景中提煉出數學問題,同時經歷了藉助數學知識研究實際問題的數學化過程。

如老師在講有理數的混合運算時,

3. 數學開放題

數學開放題是相對於傳統的封閉題而言的一種新題型,其特徵是題目的條件不充分,或沒有確定的結論,也正因為這樣,所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。

( 1 )數學開放題一般具有下列特徵

①不確定性:所提的問題常常是不確定的和一般性的,其背景情況也是用一般詞語來描述的,因此需收集其他必要的信息,才能著手解的題目。

②探究性:沒有現成的解題模式,有些答案可能易於直覺地被發現,但是求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。

③非完備性:有些問題的答案是不確定的,存在著多樣的解答,但重要的還不是答案本身的多樣性,而在於尋求解答的過程中學生的認知結構的重建。

④發散性:在求解過程中往往可以引出新的問題,或將問題加以推廣,找出更一般、更概括性的結論。常常通過實際問題提出,學生必須用數學語言將其數學化,也就是建立數學模型。

⑤發展性:能激起多數學生的好奇性,全體學生都可以參與解答過程。

⑥創新性:教師難以用注入式進行教學,學生能自然地主動參與,教師在解題過程中的地位是示範者、啟發者、鼓勵者、合作者。

( 2 )對數學開放題的分類

從構成數學題系統的四要素(條件、依據、方法、結論)出發,定性地可分成四類;如果尋求的答案是數學題的條件,則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據或方法,則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結論,則稱為結論開放題;如果數學題的條件、解題策略或結論都要求解題者在給定的情境中自行設定與尋找,則稱為綜合開放題。

從學生的學習生活和熟悉的事物中收集材料,設計成各種形式的數學開放性問題,意在開放學生的思路,開放學生潛在的學習能力,開放性數學問題給不同層次的學生學好數學創設了機會,多種解題策略的套用,有力地發展了學生的創新思維,培養了學生的創新技能,提高了學生的創新能力。

( 3 )以數學開放題為載體的教學特徵

①師生關係開放:教師與學生成為問題解決的共同合作者和研究者

②教學內容開放:開放題往往條件不完全、或結論不完全,需要收集信息加以分析和研究,給數學留下了創新的空間。

③教學過程的開放性:由於研究的內容的開放性可以激起學生的好奇心、同時由於問題的開放性,就沒有現成的解題模式,因此就會留下想像的空間,使所有的學生都可參與想像和解答。

( 4 )開放題的教育價值

有利於培養學生良好的思維品質;

有助於學生主體意識的形成;

有利於全體學生的參與,實現教學的民主性和合作性;

有利於學生體驗成功、樹立信心,增強學習的興趣;

有助於提高學生解決問題的能力。

4. 數學建模題(國中數學建模題也可以看作是數學套用題)

數學新課程標準指出 : 要學生會套用所學知識解決實際問題 , 能適應社會日常生活和生產勞動的基本需要。國中數學的學習目的之一 , 就是培養學生解決實際問題的能力 , 要求學生會分析和解決生產、生活中的數學問題 , 形成善於套用數學的意識和能力。從各省市的中考數學命題來看 , 也更關注學生靈活運用數學知識解決實際問題能力的考查 , 可以說培養學生解答套用題的能力是使學生能夠運用所學數學知識解決實際問題的基本途徑之一

國中數學套用問題的三種類型

( 1 )探求結論型數學套用問題

根據命題中所給出的條件,要求找出一個或一個以上的正確結論

( 2 )跨學科的數學套用問題

①數學與物理

②數學與生化

以上兩題是與生物和化學有關的問題,體現了數學在生化學科的套用。

總之,數學套用問題較好地考察了學生閱讀理解能力與日常生活體驗,同時又考察了學生獲取信息後的抽象概括與建模能力,判斷決策能力。中考數學套用問題熱點題型主要包括生活、統計、測量、設計、決策、銷售、開放探索、跨學科等等,中考在強化學生套用意識和套用能力方面發揮及其良好的導向功能。這就要求我們在平時教學中善於挖掘課本例題、習題的潛在的套用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數學問題回歸生活、生產的原型,創設一個實際背景,改造成有深刻數學內涵的實際問題,以增強套用意識,發展數學建模能力。

四、掌握國中數學解題策略提來提高數學學習效率

(1)認真分析問題,找解題準切入點

由於數學問題紛繁複雜,學生容易受定勢思維的影響,這樣就會響解題思路造成很大的影響。為此,這時教師要給予學生正確指導,幫助學生進行思路的調整,對題目進行重新認真的分析,將切入點找準後,問題就能遊刃而解了。例如:已知:AB=DC,AC=DB。求證:∠A=∠D。

此題是一道比較經典的證明全等的題型,主要是對學生對已知條件整合能力和觀察識圖能力的鍛鍊。然而,從圖形的直觀角度來證明∠AOC=∠DOB,這樣的思路只會落入題目所設下的陷阱。為此,在對此題的審題時,教師要引導學生注意將題目已知的兩個條件充分結合起來考慮,提醒學生可以適當添加一定的輔助線。

(2)發揮想像力,藉助面積出奇制勝

面積問題是數學中常出現的問題,在面積定義及相關規律中,蘊含著深刻的數學思想,如果學生能充分了解其中的韻味,能夠熟練的掌握其中的數學論證思維,就有可能在其他數學問題中藉助面積,出奇制勝順利實現解題。由於幾何圖形的面積與線段、角、弧等有密切的聯繫,所以用面積法不但可證各種幾何圖形面積的等量關係,還可證某些線段相等、線段不等、角的相等以及比例式等多種類型的幾何題。例1、 若E、F分別是矩形ABCD邊AB、CD的中點,且矩形EFDA與矩形ABCD相似,則矩形ABCD的寬與長之比為( ) (A) 1∶2(B) 2∶1(C) 1∶2(D) 2∶1

由上題已知信息可知,矩形ABCD的寬AD與AB的比,就是矩形EFDA與矩形ABCD的相似比。解:設矩形EFDA與矩形ABCD的相似比為k。因為E、F分別是矩形ABCD的中點,所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。所以k=1∶2。即矩形ABCD的寬與長之比為1∶2;故選(C)。

此題利用了“相似多邊形面積的比等於相似比平方”這一性質,巧妙解決相似矩形中的長與寬比的問題。事實上,藉助面積,形成解題思路的過程,就是學生思維轉換的過程。

(3)巧取特殊值,以簡代繁

國中數學雖然是基礎數學,但是這並不意味著就沒有難度,特別是在素質教育下,從培養學生綜合素質能力的角度出發,國中數學越來越重視數學思維的培養,因此在很多數學問題的設定上,都進行了相當難度的調整,使得數學問題顯得較為繁雜,單一的思維或者解題方式,在有些題目面前會顯得較為艱難。如有些數學問題是在一定的範圍內研究它的性質,如果從所有的值去逐一考慮,那么問題將不勝其繁甚至陷入困境。在這種情況下,避開常規解法,跳出既定數學思維,就成了解題的關鍵。

例2、分解因式:x2+2xy-8y2+2x+14y-3。

思路分析:本題是二元多項式,從常規思路進行解題也未嘗不可,但是從鍛鍊學生思維能力的角度出發,教師可以在立足常規解法的基礎上,引導學生進行其他方面解題思路的探索。如從巧取特值的角度出發,把其中的一個未知數設為0,則可以暫時隱去這個未知數,而就另一個未知數的式子來分解因式,達到化二元為一元的目的。

解:令y=0,得x2+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。當把兩次分解的一次項的係數1、1;-2、4。可知,1×4+(-2)×1正好等於原式中xy項的係數。因此,綜合起來有:x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。

其實,用特殊值法,也叫取零法。這種方法在因式分解中可以發揮很大的作用,幫助學生找到其他的解題思路。一般來說其步驟是:A、把多項式中的一個字母設為0所得的結果分解因式,B、把多項中的另一個字母設為0所得的結果分解因式,C、把上兩步分解的結果綜合起來,得出原多項式的分解結果。但要注意:兩次分解的一次因式的常數項必須相等,如本題中,x+3的3和-2y+3的3相等,x-1的-1和4y-1的-1相等。否則,在綜合這兩步的結果時就無所適從了。

(4)巧妙轉換,過渡求解法

在解數學題時,即要對已知的條件進行全面分析,還要善於將題目中的隱性條件挖掘出來,將數學中各知識之間的聯繫巧妙的運用起來,用全面、全新的視角來解決問題。

例如:已知:AB為半圓的直徑,其長度為30 cm,點C、D是該半圓的三等分點,求弦AC、AD與弧CD所圍成的圖形的面積。

本題需要解出的是一個不規則圖形的面積,可能大多數同學的思維就是將CD連結起來,將其轉變為一個角形和弓形,兩者面積之和就為該題需要解決的問題。這時,教師就要引導學生學會對半徑這一已知條件加以利用,幫助其將另外兩條OC、OD輔助線連結起來,將題目要求解的不規則圖形的面積,轉化成求扇形OCD的面積,這樣該題的解題思維就能一目了然了。

綜上所述,國中數學解題存在很強的靈活性。有的數學題不只一種解法,而有多種解法,有的數學題用常規方法解決不了,要用特殊方法。因此,解數學題要注意它的靈活性和技巧性。解題技巧在升學考試中至關重要,不能忽視。國中數學教師要注意對解題技巧的鑽研,並鼓勵學生髮散思維,尋找解題技巧,提高解題效率,增強學習數學的能力。

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