國小數學 套用題

2019-02-23 23:34:00

一、簡單套用題

只含有一種基本數量關係,或用一步運算解答的套用題,通常叫做簡單套用題。

1、加法套用題:

a求總數的套用題:已知甲數是多少,乙數是多少,求甲乙兩數的和是多少。

b求比一個數多幾的數套用題:已知甲數是多少和乙數比甲數多多少,求乙數是多少。

2、減法套用題:

a求剩餘的套用題:從已知數中去掉一部分,求剩下的部分。

b求兩個數相差的多少的套用題:已知甲乙兩數各是多少,求甲數比乙數多多少,或乙數比甲數少多少。

c求比一個數少幾的數的套用題:已知甲數是多少,,乙數比甲數少多少,求乙數是多少。

3、乘法套用題:

a求相同加數和的套用題:已知相同的加數和相同加數的個數,求總數。

b求一個數的幾倍是多少的套用題:已知一個數是多少,另一個數是它的幾倍,求另一個數是多少。

4、除法套用題:

a把一個數平均分成幾份,求每一份是多少的套用題:已知一個數和把這個數平均分成幾份的,求每一份是多少。

b求一個數里包含幾個另一個數的套用題:已知一個數和每份是多少,求可以分成幾份。

C 求一個數是另一個數的的幾倍的套用題:已知甲數乙數各是多少,求較大數是較小數的幾倍。

d已知一個數的幾倍是多少,求這個數的套用題。

5、常見的數量關係:

總價 = 單價×數量

路程 = 速度×時間

工作總量=工作時間×工效

總產量=單產量×數量

二、複合套用題

有兩個或兩個以上的基本數量關係組成的,用兩步或兩步以上運算解答的套用題,通常叫做複合套用題。

1、含有三個已知條件的兩步計算的套用題。

求比兩個數的和多(少)幾個數的套用題。

比較兩數差與倍數關係的套用題。

2、含有兩個已知條件的兩步計算的套用題。

已知兩數相差多少(或倍數關係)與其中一個數,求兩個數的和(或差)。

已知兩數之和與其中一個數,求兩個數相差多少(或倍數關係)。

3、連乘連除套用題。

4、三步計算的套用題。

三、典型套用題

具有獨特的結構特徵的和特定的解題規律的複合套用題,通常叫做典型套用題。

1、平均數問題:平均數是等分除法的發展。

解題關鍵:在於確定總數量和與之相對應的總份數。

算術平均數:已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數,求平均每份是多少。

數量關係式:數量之和÷數量的個數=算術平均數。

加權平均數:已知兩個以上若干份的平均數,求總平均數是多少。

數量關係式 (部分平均數×權數)的總和÷(權數的和)=加權平均數。

差額平均數:是把各個大於或小於標準數的部分之和被總份數均分,求的是標準數與各數相差之和的平均數。

數量關係式:(大數-小數)÷2=小數應得數

最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數

最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數。

例:一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地,又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析:求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1 ”,則汽車行駛的總路程為“ 2 ”,從甲地到乙地的速度為 100 ,所用的時間為 ,汽車從乙地到甲地速度為 60 千米 ,所用的時間是 ,汽車共行的時間為 + = , 汽車的平均速度為 2 ÷ =75 (千米)

2、歸一問題:已知相互關聯的兩個量,其中一種量改變,另一種量也隨之而改變,其變化的規律是相同的,這種問題稱之為歸一問題。

根據求“單一量”的步驟的多少,歸一問題可以分為一次歸一問題,兩次歸一問題。

根據球痴單一量之後,解題採用乘法還是除法,歸一問題可以分為正歸一問題,反歸一問題。

一次歸一問題,用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”

兩次歸一問題,用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”

正歸一問題:用等分除法求出“單一量”之後,再用乘法計算結果的歸一問題。

反歸一問題:用等分除法求出“單一量”之後,再用除法計算結果的歸一問題。

解題關鍵:從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量(單一量),然後以它為標準,根據題目的要求算出結果。

數量關係式:單一量×份數=總數量(正歸一)

總數量÷單一量=份數(反歸一)

例 一個織布工人,在七月份織布 4774 米 , 照這樣計算,織布 6930 米 ,需要多少天?

分析:必須先求出平均每天織布多少米,就是單一量。 693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)

3、歸總問題:是已知單位數量和計量單位數量的個數,以及不同的單位數量(或單位數量的個數),通過求總數量求得單位數量的個數(或單位數量)。

特點:兩種相關聯的量,其中一種量變化,另一種量也跟著變化,不過變化的規律相反,和反比例算法彼此相通。

數量關係式:單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量

單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量。

例 修一條水渠,原計畫每天修 800 米 , 6 天修完。實際 4 天修完,每天修了多少米?

分析:因為要求出每天修的長度,就必須先求出水渠的長度。所以也把這類套用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量,再求總量,歸總問題是先求出總量,再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 (米)

4、和差問題:已知大小兩個數的和,以及他們的差,求這兩個數各是多少的套用題叫做和差問題。

解題關鍵:是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和(或兩個小數的和),然後再求另一個數。

解題規律:(和+差)÷2 = 大數 大數-差=小數

(和-差)÷2=小數 和-小數= 大數

例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作,這時乙班比甲班人數少 12 人,求原來甲班和乙班各有多少人?

分析:從乙班調 46 人到甲班,對於總數沒有變化,現在把乙數轉化成 2 個乙班,即 9 4 - 12 ,由此得到現在的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人),乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 (人),甲班為 9 4 - 87=7 (人)

5、和倍問題:已知兩個數的和及它們之間的倍數 關係,求兩個數各是多少的套用題,叫做和倍問題。

解題關鍵:找準標準數(即1倍數)一般說來,題中說是“誰”的幾倍,把誰就確定為標準數。求出倍數和之後,再求出標準的數量是多少。根據另一個數(也可能是幾個數)與標準數的倍數關係,再去求另一個數(或幾個數)的數量。

解題規律:和÷倍數和=標準數 標準數×倍數=另一個數

例:汽車運輸場有大小貨車 115 輛,大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛,運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛?

分析:大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛,這 7 輛也在總數 115 輛內,為了使總數與( 5+1 )倍對應,總車輛數應( 115-7 )輛 。

列式為( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (輛), 18 × 5+7=97 (輛)

6、差倍問題:已知兩個數的差,及兩個數的倍數關係,求兩個數各是多少的套用題。

解題規律:兩個數的差÷(倍數-1 )= 標準數 標準數×倍數=另一個數。

例 甲乙兩根繩子,甲繩長 63 米 ,乙繩長 29 米 ,兩根繩剪去同樣的長度,結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍,甲乙兩繩所剩長度各多少米? 各減去多少米?

分析:兩根繩子剪去相同的一段,長度差沒變,甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍,實比乙繩多( 3-1 )倍,以乙繩的長度為標準數。列式( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)…乙繩剩下的長度, 17 × 3=51 (米)…甲繩剩下的長度, 29-17=12 (米)…剪去的長度。

7、行程問題:關於走路、行車等問題,一般都是計算路程、時間、速度,叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念,了解他們之間的關係,再根據這類問題的規律解答。

解題關鍵及規律:

同時同地相背而行:路程=速度和×時間。

同時相向而行:相遇時間=速度和×時間

同時同向而行(速度慢的在前,快的在後):追及時間=路程速度差。

同時同地同向而行(速度慢的在後,快的在前):路程=速度差×時間。

例 甲在乙的後面 28 千米 ,兩人同時同向而行,甲每小時行 16 千米 ,乙每小時行 9 千米 ,甲幾小時追上乙?

分析:甲每小時比乙多行( 16-9 )千米,也就是甲每小時可以追近乙( 16-9 )千米,這是速度差。

已知甲在乙的後面 28 千米 (追擊路程), 28 千米 里包含著幾個( 16-9 )千米,也就是追擊所需要的時間。列式 2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小時)

8、流水問題:一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型,它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速:船在靜水中航行的速度。

水速:水流動的速度。

順水速度:船順流航行的速度。

逆水速度:船逆流航行的速度。

順速=船速+水速

逆速=船速-水速

解題關鍵:因為順流速度是船速與水速的和,逆流速度是船速與水速的差,所以流水問題當作和差問題解答。 解題時要以水流為線索。

解題規律:船行速度=(順水速度+ 逆流速度)÷2

流水速度=(順流速度逆流速度)÷2

路程=順流速度× 順流航行所需時間

路程=逆流速度×逆流航行所需時間

例 一隻輪船從甲地開往乙地順水而行,每小時行 28 千米 ,到乙地後,又逆水 航行,回到甲地。逆水比順水多行 2 小時,已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米?

分析:此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間,或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度,因此不難算出逆水的速度,但順水所用的時間,逆水所用的時間不知道,只知道順水比逆水少用 2 小時,抓住這一點,就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間,這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米) 40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小時) 28 × 5=140 (千米)。

9、還原問題:已知某未知數,經過一定的四則運算後所得的結果,求這個未知數的套用題,我們叫做還原問題。

解題關鍵:要弄清每一步變化與未知數的關係。

解題規律:從最後結果 出發,採用與原題中相反的運算(逆運算)方法,逐步推導出原數。

根據原題的運算順序列出數量關係,然後採用逆運算的方法計算推導出原數。

解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法,後算乘除法時別忘記寫括弧。

例 某國小三年級四個班共有學生 168 人,如果四班調 3 人到三班,三班調 6 人到二班,二班調 6 人到一班,一班調 2 人到四班,則四個班的人數相等,四個班原有學生多少人?

分析:當四個班人數相等時,應為 168 ÷ 4 ,以四班為例,它調給三班 3 人,又從一班調入 2 人,所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等於平均數。四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2+3=43 (人)

一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+2=38 (人);二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+6=42 (人) 三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。

10、植樹問題:這類套用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關係的套用題,叫做植樹問題。

解題關鍵:解答植樹問題首先要判斷地形,分清是否封閉圖形,從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹,然後按基本公式進行計算。

解題規律:沿線段植樹

棵樹=段數+1 棵樹=總路程÷株距+1

株距=總路程÷(棵樹-1) 總路程=株距×(棵樹-1)

沿周長植樹

棵樹=總路程÷株距

株距=總路程÷棵樹

總路程=株距×棵樹

例 沿公路一旁埋電線桿 301 根,每相鄰的兩根的間距是 50 米 。後來全部改裝,只埋了201 根。求改裝後每相鄰兩根的間距。

分析:本題是沿線段埋電線桿,要把電線桿的根數減掉一。列式為 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)

11、盈虧問題:是在等分除法的基礎上發展起來的。 他的特點是把一定數量的物品,平均分配給一定數量的人,在兩次分配中,一次有餘,一次不足(或兩次都有餘),或兩次都不足),已知所余和不足的數量,求物品適量和參加分配人數的問題,叫做盈虧問題。

解題關鍵:盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差,再求兩次分配中各次共分物品的差(也稱總差額),用前一個差去除後一個差,就得到分配者的數,進而再求得物品數。

解題規律:總差額÷每人差額=人數

總差額的求法可以分為以下四種情況:

第一次多餘,第二次不足,總差額=多餘 + 不足

第一次正好,第二次多餘或不足 ,總差額 = 多餘或不足

第一次多餘,第二次也多餘,總差額 = 大多餘 - 小多餘

第一次不足,第二次也不足,總差額 = 大不足 - 小不足

例 參加美術小組的同學,每個人分的相同的支數的色筆,如果小組 10 人,則多 25 支,如果小組有 12 人,色筆多餘 5 支。求每人 分得幾支?共有多少支色鉛筆?

分析:每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人,比 10 人多 2 人,而色筆多出了( 25-5 ) =20 支 , 2 個人多出 20 支,一個人分得 10 支。列式為( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 10 × 12+5=125 (支)。

12、年齡問題:將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件,這種套用題被稱為“年齡問題”。

解題關鍵:年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似,主要特點是隨著時間的變化,年歲不斷增長,但大小兩個不同年齡的差是不會改變的,因此,年齡問題是一種“差不變”的問題,解題時,要善於利用差不變的特點。

例 父親 48 歲,兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍?

分析:父子的年齡差為 48-21=27 (歲)。由於幾年前父親年齡是兒子的 4 倍,可知父子年齡的倍數差是( 4-1 )倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡,從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為: 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)

13、雞兔問題:已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少只的一類套用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關鍵:解答雞兔問題一般採用假設法,假設全是一種動物(如全是“雞”或全是“兔”,然後根據出現的腿數差,可推算出某一種的頭數。

解題規律:(總腿數-雞腿數×總頭數)÷一隻雞兔腿數的差=兔子只數

兔子只數=(總腿數-2×總頭數)÷2

如果假設全是兔子,可以有下面的式子:

雞的只數=(4×總頭數-總腿數)÷2

兔的頭數=總頭數-雞的只數

例 雞兔同籠共 50 個頭, 170 條腿。問雞兔各有多少只?

兔子只數 ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只)

雞的只數 50-35=15 (只)

四、分數和百分數的套用

1、分數加減法套用題:

分數加減法的套用題與整數加減法的套用題的結構、數量關係和解題方法基本相同,所不同的只是在已知數或未知數中含有分數。

2、分數乘法套用題:

是指已知一個數,求它的幾分之幾是多少的套用題。

特徵:已知單位“1”的量和分率,求與分率所對應的實際數量。

解題關鍵:準確判斷單位“1”的量。找準要求問題所對應的分率,然後根據一個數乘分數的意義正確列式。

3、分數除法套用題:

求一個數是另一個數的幾分之幾(或百分之幾)是多少。

特徵:已知一個數和另一個數,求一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾。“一個數”是比較量,“另一個數”是標準量。求分率或百分率,也就是求他們的倍數關係。

解題關鍵:從問題入手,搞清把誰看作標準的數也就是把誰看作了“單位一”,誰和單位一的量作比較,誰就作被除數。

甲是乙的幾分之幾(百分之幾):甲是比較量,乙是標準量,用甲除以乙。

甲比乙多(或少)幾分之幾(百分之幾):甲減乙比乙多(或少幾分之幾)或(百分之幾)。關係式(甲數減乙數)/乙數或(甲數減乙數)/甲數 。

已知一個數的幾分之幾(或百分之幾 ) ,求這個數。

特徵:已知一個實際數量和它相對應的分率,求單位“1”的量。

解題關鍵:準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據分數乘法的意義列方程,或者根據分數除法的意義列算式,但必須找準和分率相對應的已知實際

數量。

4、出勤率

發芽率=發芽種子數/試驗種子數×100%

小麥的出粉率= 麵粉的重量/小麥的重量×100%

產品的合格率=合格的產品數/產品總數×100%

職工的出勤率=實際出勤人數/應出勤人數×100%

5、工程問題:

是分數套用題的特例,它與整數的工作問題有著密切的聯繫。它是探討工作總量、工作效率和工作時間三個數量之間相互關係的一種套用題。

解題關鍵:把工作總量看作單位“1”,工作效率就是工作時間的倒數,然後根據題目的具體情況,靈活運用公式。

數量關係式:

工作總量=工作效率×工作時間

工作效率=工作總量÷工作時間

工作時間=工作總量÷工作效率

工作總量÷工作效率和=合作時間

6、納稅

納稅就是把根據國家各種稅法的有關規定,按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

繳納的稅款叫應納稅款。

應納稅額與各種收入的(銷售額、營業額、應納稅所得額 ……)的比率叫做稅率。

7、利息

存入銀行的錢叫做本金。

取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×時間

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